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Categoría.

Conceptos básicos, primeras explicaciones.

Una categoría es la estructura donde más natural y básicamente se "encuadra" la capacidad de hacer relaciones. Y es un concepto bastante simple, en serio, aunque, por la falta de costumbre no es tanto como el de conjunto. Una categoría, como esta con dos objetos (y que pintamos sin las flechas identidad para cada objeto):

  A ----> B

 tiene que tener, como tenían los conjuntos, objetos, ciertos "elementos" que vamos a llamar

  • objetos: {A, B, C, ...}.

Y lo "más importante":

  • flechas: {f, g, h, ...}. Existen flechas entre los objetos.
Y cada flecha,
  • f : A ---> B
tiene asignado un objeto (por ejemplo "A") de "origen" (dominio) y otro objeto (por ejemplo "B") de llegada (codominio). Esto casi es lo mismo que tenemos en la definición de "función", "aplicación". Si no os han contado alguna vez las funciones mirad más abajo en el ejemplo de categoría que vamos a poner. Las reglas que cumplen las flechas en cada categoría son, básicamente:
  • COMPOSIBILIDAD: si tengo una flecha "f" de A hacia B y otra flecha "g" de B a C, entonces ¡tengo una de A a C! llamada " (g · f) " (ojo: ¡es frecuente que no se escriba (f · g) ! ¡ "el orden" es en cierto modo al revés que como se escribe !)
  • ¡ASOCIATIVIDAD! Os lo imaginaréis ya quizá: si tengo 3 flechas

    "f" : A -----> B,

    "g" : B -----> C

    "h" : C -----> D,

    será lo mismo "ir" de A a D pasando por la compuesta de g con h, (h · g), (que va de B a D) con lo que hacemos este "camino":

    (h · g) · f

    , que "ir" de A a D pasando por la compuesta de f con g:(g ·f), que va de B a C, haciendo este otro:

    h · (g · f).

    Esto es: (h · g) · f = h · (g · f)

  • IDENTIDADES. Todo objeto "A" tiene que tener una flecha identidad, sólo una, que salga y entre en él:

    A -----> A

Todo esto tiene además que "conectar" bien. Pero más o menos hemos terminado de definir informalmente qué es una categoría. (Habría que poner un ejemplo, abajo lo intentamos con la categoría "conjuntos finitos").


Conjuntos finitos, un ejemplo fundamental. Lógica, comentarios iniciales.

"Conjuntos finitos" es la categoría que consiste en:

  • "Objetos": los objetos son los conjuntos, "bolsas", "fundas" con una cantidad finita de bolitas y
  • "Morfismos": que son las simples aplicaciones entre las bolsas. El concepto de aplicación debe ser recordado: una aplicación del conjunto A al conjunto B debe asignar un elemento de B ¡A CADA! elemento de A. Esto es, para todo a en A, que elijamos, debe existir un b en B que sea "imagen" de dicho a en A. Si el concepto de aplicación no fuera posible ni útil no existiría esta categoría, pues la composibilidad y la asociatividad de las flechas -que son en realidad las cosas más fundamentales en matemáticas- nos obligan a definir como acabamos de hacer el concepto de aplicación.
Queremos mostrar cómo lo que perseguimos es el generalizar fenómenos básicos que ocurren en la categoría de "conjuntos finitos"; con ello vamos a poder dar un sentido interno y objetivo a la lógica en otras categorías.

La lógica contiene la posibilidad de decir que algo sea verdadero o falso. Por ejemplo, si tenemos una bolsa de bolitas, A, podemos preguntarnos cuáles de esas bolas cumplen cierta propiedad (ser rojas). Entonces, como véis, podéis asociar una cierta aplicación del conjunto A de bolas hacia un conjunto con dos elementos: {v , f} , (v por "verdadero" y f por "falso"), y que podéis visualizar como una bolsa que contiene dos bolas que llamamos "v" y "f". Esta aplicación lleva cada bola roja en A hacia "v" y cada bola en A que sea de otro color hacia f (contamos con que sus colores están bien diferenciados).

Este es cierto "rasgo" de la lógica, que, como véis, hemos relacionado con lo que es importante para nuestro concepto de categoría y en la categoría en la que nos encontramos: la flecha, el morfismo. Esto que acabamos de hacer aclara este hecho: a cada parte de un conjunto dado A, osea, la parte de un conjunto que cumple cierta propiedad ("ser la parte de A que consiste en todas sus bolas rojas"), podemos asociar ¡una, y sólo una! flecha hacia el conjunto {v, f}. Este conjunto se llama "objeto de valores de verdad", y como véis ¡pertenece a esta categoría concreta!: es simplemente el conjunto de dos bolas, ¡ el 2 ! {"verdadero", "falso"}

Acabamos de objetivar cierto rasgo de la lógica en una categoría; una categoría simple pero muy útil para suministrarnos "intuiciones", la de los "conjuntos finitos". Los demás conceptos de la lógica, los cuantificadores lógicos (el "existe", el "para todo"...), etc, tendrán su "objetivación" correspondiente, pero siempre en términos de lo que tenemos en nuestro universo, es decir, de flechas y objetos, por eso decimos "objetivizar".

Ahora bien, y es cuando viene una idea fundamental y que pone como condición de las matemáticas la idea de "verdad parcial".

¿Y en otras categorías? ¿Se podrá hacer esto en todas? ¿En cuáles? Esto es, ¿habría por ejemplo "objetos de valores de verdad" en otras?

Pues sí, para esto se han inventado un tipo de categorías, llamadas Topos.

Para que una categoría, para que cierto universo de relaciones, sea un topos, esto es, se comporte como la de conjuntos finitos (tenga un cierto "objeto de valores de verdad", etc...), debe cumplir ciertas "reglas", que cumple la categoría "conjuntos finitos" (sólo hemos "visto" la regla del "objeto de valores de verdad").

Pero cuidado, fijarse por ejemplo en que el objeto "valores de verdad" ¡no va a tener por qué ser el simple 2!, ya que ¿qué es 2 en otro universo matemático que no sea el de "conjuntos finitos"?

Pensad que los objetos en otras categorías pueden ser cosas y son cosas muy distintas que "bolsas de bolitas".

Los universos del ser-matemático, del ser, son algo muy loco --el ser está muy loco--, no son tan sencillos como "conjuntos finitos".

Así que en un topos --como vimos que ocurre en "conjuntos finitos"-- a toda parte de cierto objeto "A", a todo subobjeto de A, se le va a poder asociar una flecha desde el objeto del cual es subobjeto hacia el objeto "valores de verdad".

"Continuando" en cierto modo con lo anterior, concretemos algo que ha salido en ese (seudo)"ejemplo" sacado del lenguaje/"filosofía"/costumbres de la vida diaria:
los conjuntos finitos forman una categoría, la más básica, y una categoría es definida diciendo que tiene flechas y objetos (dos entidades a partir de ahora "inseparables"!) que cumplen ciertas propiedades.

En este caso los objetos son dichos conjuntos finitos y las flechas son las "aplicaciones", funciones, relaciones... que en cierto modo usamos -se pueden ver como sustrato de muchas de las cosas que hacemos- en la vida diaria, en nuestro mundo de objetos y personas separad_s, numerad_s, relacionad_s, y que nos contaron en la escuela (aquéllo de que para cada elemento del conjunto origen damos una imagen; nos lo contaron en muchos casos para mal, pese a que los fundamentos de la matemática tienen una especie de poder inconsciente, poder que seguramente sea más comprensible añadiendo esta herramienta fundamental que nos ocupa).

Este ejemplo de categoría, la de los conjuntos finitos, es un ejemplo inicial y sencillo pero que aún no se trabaja en tanto categoría, sólo en tanto nada, en tanto "conjuntos", que es decir poco.

El aporte de las flechas es el enriquecimiento fundamental, desde el principio, de las "matematizaciones", de las "puestas en letra", de nuestros primeros pasos en el pensamiento, que se ayuda y se puede ayudar de los conceptos matemáticos -ahora muy pobres- sobre lo que hay, lo que se presenta.

Con él podemos presentar cómo la idea de la "verdad parcial" es algo fundamental en matemáticas. Haciendo esto creo que hacemos más inteligente la enseñanza y en cierto modo humanizamos a la vez que "deshumanizamos" todo esto.

¿Por qué deshumanizamos? Porque siempre hay cierto "arrastrar" la tradición que hace equivocarnos en las percepciones sobre la "esencia" de las cosas que aprendemos.

Como hemos dicho, este enriquecimiento amplía nuestra visión en el sentido de damos cuenta de que las dos entidades: objeto y relación (flecha), son inseparables, que el ser de un objeto no admite todo tipo de relaciones y a la vez estas relaciones constriñen el ser interno, y pueden ser -a su vez- objetos de otras categorías. Que una cosa es el ser y otra el aparecer, por así decirlo.

Se trata también entonces de la posibilidad y/o necesidad de "no parar" con el pensamiento, de no parar de pensar y cuando se observa una relación, postularla como objeto y ponerse a pensar y observar este "universo" diferente y más elevado, y así hasta el infinito, conservando las trazas de todo lo hecho.

Este es el trabajo más moderno en matemáticas: en esta crisis nos encontramos -soslayada como siempre (los "escándalos" que descubrían los griegos eran tapados al público, como se hace ahora, para que no se viera la emocionante naturaleza "acontecimiental" de la ciencia y la capacidad real de todo el mundo para sentir y aprender las cosas más profundas y avanzadas que nos suministra al pensamiento)-, en esta crisis de fundamentos vivimos y la perspectiva de la inmensidad y coherencia de las matemáticas se ha hecho mucho más clara.

Fijarse en que los primeros pasos conjuntistas a secas, del tremendo acontecimiento anterior de los  sobre conjuntos, ya hacen, ahora mismo, mella en todo el mundo escolarizado. Pero claro, hacen mella sin desatar cierto pensamiento de su más o menos vieja "novedad", lo que es desgraciadamente "lo normal".

El acontecimiento actual, como estamos viendo, es entonces el que nuestro "yin", sólido, de los elementos y de los conjuntos de elementos del parvulario, de "unidades" hechas conjunto -las relaciones entre estos conjuntos no tienen más que un papel secundario en la presentación tradicional- se complementa con un frondoso "yang" lleno de flechas y de posibles conceptualizaciones muy generales (objeto terminal de una categoría... objeto inicial... producto en una categoría...) que enriquecen enormemente el mundo meramente subjetivo -que no otra cosa se dicen ser las matemáticas.