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El cuento de las ovejas.
Existe un texto -en inglés- que divulga una idea que
ayuda a iniciarse más concretamente en los aspectos categoriales de los
conjuntos. Se trata
de: (John
Báez) "Categorification" (añadimos ciertas "figuras" y sus
respectivos "pies", así como la "traducción"; es
muy corto) (entre corchetes van los comentarios del traductor,
prometemos sustituir las figuras por algunas más decentes):
" Hace mucho tiempo, cuando
los pastores querían ver si dos
rebaños de ovejas eran [iguales] isomorfos, debían
encontrar un isomorfismo [flecha explícita]. En otras
palabras, debían alinear ambos rebaños e intentar
emparejar cada oveja de uno de los rebaños con otra del otro
rebaño.
Pero un día aparece un pastor
que inventa la decategorificación.
Ella o él se dio cuenta de que podía tomar cada oveja
y contarla, haciendo un isomorfismo entre ella y algún
conjunto de números, que eran palabras sinsentido como 'uno',
'dos', 'tres', ... un conjunto especialmente designado para tal
propósito.
( oveja pepa---)--------(--->oveja loli )
( oveja churri--)------(----->oveja pachuli )
( oveja sapa---)--------(--->oveja mari )
morf. "f"
Conjunto1------->Conjunto2 Fig
1: Arriba los dos rebaños, conjuntos que
constituyen objetos
dentro de la categoría de los conjuntos finitos. En la parte de abajo
de la "figura" visualizamos en cierto modo la naturaleza
categorial externa
(aparecer vs ser).
Las flechas son los morfismos
en dicha
categoría, y no son otra cosa que las aplicaciones:
"a cada
origen una imagen", de la enseñanza escolar. Estas relaciones
entre objetos de una categoría son pintadas -en la visión externa- como
una sola flecha
entre los objetos de la categoría en cuestión, como se ve, entre el
conjunto1 y el conjunto2.
(oveja pepa----)---------(----> O1 )
( oveja churri--)--------(----->O2 )
( oveja sapa----)--------(----->O3 )
Fig 2: Quitamos los nombres e igualamos cada
oveja a una especie de punto,
comenzando así una de las
maneras de descubrir los
números naturales, que son cierta des-categorización, esto es,
supresión de la naturaleza relacional,
flechuda, en
esta categoría concreta de las matemáticas, del
"pensamiento subjetivo", que son los conjuntos finitos (lo cual nos lo
demuestra la historia miles de
años después: las matemáticas estudian sistemas
algebraicos y otras estructuras, como las que tienen los números, y estas estructuras vienen
dadas por los morfismos,
las flechas entre los objetos a estudiar (grupos, cuerpos...).
( oveja pepa )
( oveja churri )
" = " 3
( oveja sapa )
Fig 3. Descategorización
final.
El conjunto decimos que en cierto modo es igual a 3
(ovejas). Nuestro
conjunto ya no forma un objeto de una categoría. Ya no nos
importa más que cierta esencia
de esta categoría
(internamente: que cada objeto, cada conjunto, no tiene ninguna
"estructura
interna", esto es, cada objeto está formado por elementos
separados, sin relación entre sí), y esta "esencia"
decimos que "es el número 3", en este caso. Frase inauguradora
donde las haya.
(Continuación y fin de la traducción: sigue John
Báez)
De acuerdo a esta parábola, la
"decategorificación" empezó como un "golpe de genio
matemático".
Sólo después vendría a ser
materia de hábito involuntario, el cual estamos luchando por
superar mediante la categorificación. Aunque la realidad
histórica es bastante más complicada, la categorificación [inconsciente,
podríamos decir] ha sido en realidad la "culpable" de llevarno hacia
un progreso tremendo en matemáticas
durante el siglo XX. "
(Fin)
Este hecho, el que ahora muchos descubrimientos famosos y útiles
se puedan visualizar concretamente como categorificaciones de
determinados hechos, es algo que le
añade un matiz investigador al
aprendizaje y a la
enseñanza de las matemáticas, desde el principio, pues
aunque son simples de ver
como parece por ejemplo en el caso presentado aquí, estos
fenómenos están en gran parte sin
pensar o descubrir, y
claro, sin enseñar.
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